Lenguajes desconcertantes

Seguramente todos hemos visto alguna vez a un loco hablando solo. Desde hace algunos años, no es difícil tampoco cruzarse en público con una de esas personas que, o por comodidad o por temor a las radiaciones electromagnéticas del teléfono móvil, nos encontramos a veces por la calle hablando en voz alta como si estuvieran locos.

Tal vez lo están. Incluso aunque lo que digan sea perfectamente coherente. Podrían estarlo incluso si, en lugar de exclamar mirando a las nubes que Loli ha tenido gemelos, pronunciaran esas mismas palabras con un teléfono móvil apoyado en una oreja. Ni siquiera es importante que estén o no hablando con un interlocutor real. Para nosotros, la persona que habla sola estará loca cuando lo que dice no se refiere a la realidad 'convencional', sino a una realidad que nosotros no podemos identificar.

A mitad de camino entre la cordura y la locura está el mundo esotérico. Incontables personas han dedicado años de su vida a interpretar la Cábala, los horóscopos o las 'profecías' de Nostradamus, y los libros sobre ectoplasmas, yoes astrales, auras, karmas y otras hierbas tienen un público fiel que los lee ávidamente y asegura entenderlos. La filosofía y la religión no se libran tampoco de esta clasificación. La filosofía, porque el grado de abstracción de sus afirmaciones nos priva de referentes manejables y, muy a menudo, nos impide entender a ciencia cierta de qué se nos está hablando. Y la religión, porque todo intento de entender sus conceptos básicos está obstaculizado por un requisito: la fe.

Todo esto nos da una idea de la fascinante potencia del lenguaje humano. Desde las instrucciones para ensamblar una estación espacial hasta los limbos inaprehensibles de Wittgenstein, y desde las jergas carcelarias hasta el dogma de la Santísima Trinidad, en el lenguaje humano cabe todo. Aun así, también tiene sus límites. En el siglo XVII, los sesudos catedráticos de la Universidad de Toledo discutían acaloradamente el significado de la expresión "¿Acaso una quimera zumbando en el vacío puede comer segundas intenciones?" Aunque esta polémica fue tristemente cierta, el ejemplo de los sabios varones me parece demasiado tonto. Quizá valdría la pena comentar otros ejemplos más enjundiosos.

"¿Donde empieza una circunferencia?"

Este ejemplo evidencia que hay conceptos que son por naturaleza incompatibles entre sí. Ya de antiguo decía la sabiduría popular que no tiene nada que ver la velocidad con el tocino. En lenguaje más moderno, podríamos decir que una circunferencia y un segmento no son topológicamente equivalentes. En otras palabras, no podemos transformar uno cualquiera de ellos en el otro sin romper la circunferencia o pegar los extremos del segmento. ¿Por qué hemos prohibido estas dos operaciones? Pues porque, una vez pegados, los dos extremos del segmento tendrían que cambiar sus dos nombres respectivos por uno solo. Y una vez rota la circunferencia, necesitaríamos dos nombres en lugar de uno para los dos extremos resultantes.

"Esta afirmación es falsa"

¿También en este caso podríamos hablar de incompatibilidad topológica? Tal vez. Pensemos, por ejemplo, que ninguna mano puede agarrarse a sí misma. Sin embargo, sí podemos decir cosas tales como "esta afirmación está expresada con siete palabras". Bien. Pero una cosa es lo que yo afirmo, y otra muy distinta es la frase que utilizo para expresarme. De modo que lo que en realidad estamos diciendo es "la frase 'esta afirmación está expresada con siete palabras' contiene siete palabras".

Si aplicamos esta consideración a nuestro ejemplo, tendríamos que escribir "el significado de la frase 'esta afirmación es falsa' es falso". Aunque a primera vista puede no parecerlo, estamos en una situación mucho mejor que antes. ¿Cuál es el significado de la frase "esta afirmación es falsa"? Lo acabamos de explicitar. El significado de la frase "esta afirmación es falsa" es:

"el significado de la frase 'esta afirmación es falsa' es falso"

Si repetimos la operación, obtenemos:

"el significado de la frase "el significado de la frase 'esta afirmación es falsa' es falso" es falso"

Cuanto más intentamos acercarnos al significado de nuestro ejemplo, más nos alejamos de él. Este tipo de situaciones se dan también en la vida cotidiana. Pensemos en dos espejos situados el uno frente al otro. Si uno de los espejos pudiera hablar, describiría su situación diciendo "yo reflejo aquello que reflejo" [que retorna a mí gracias al espejo que tengo enfrente]. La imagen efectivamente reflejada será una sucesión infinita de imágenes subsumidas unas en otras, como matrioshkas. Y, aunque la aparición de todas esas imágenes es instantánea, desde el punto de vista del espejo nuestra mente nos obliga a describirla como si fuera un proceso que se desarrolla a lo largo del tiempo.

Infinitamente (im)perfecto

Los filósofos me producen dolor de cabeza. Probablemente los delirios más representativos de esa colección de esperpentos conocida como ‘filosofía’ son los argumentos esgrimidos a lo largo de la Historia para demostrar o refutar la existencia de Dios. La mayor parte de ellos hacen referencia a una de las cualidades generalmente atribuidas a Dios: la perfección infinita. Sí, sí, ha leído usted bien. Yo siempre había pensado que una cosa era o perfecta o imperfecta, sin términos medios. ¿Podemos perfeccionar infinitamente una esfera, o la ecuación 2 + 2 = 4? Que alguien me explique cómo.

Igualmente absurdo, pero más divertido todavía, es el concepto de ‘imperfección infinita’. Ciertamente, las imperfecciones son, hasta cierto punto, comparables. Los mamíferos que regentan Tele 5 son seres humanos moralmente muy deficientes, pero no tanto como Atila (aunque a mí, personalmente, me es difícil apreciar la diferencia). Por otra parte, ¿qué ecuación es más imperfecta: 2 + 2 = 3, o 2 + 2 = 5? Difícil saberlo. De hecho, ni siquiera el azar es infinitamente imperfecto: un sucesión ilimitada de números aleatorios contendrá, tarde o temprano, alguna secuencia ‘ordenada’ (por ejemplo, 4, 4, 4, 4).

La lista de todas las listas

Durante años, le he dado muchas vueltas a la famosa paradoja de Russell. A saber: “El conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos es un concepto contradictorio”. El problema es que ni siquiera convengo en la primera parte de su enunciado. ¿Acaso existe algún conjunto que sí pertenezca a sí mismo? “La lista de todas las listas” es un ejemplo frecuentemente mencionado, y el propio Russell propuso uno particularmente original: el conjunto de todos los objetos que es posible describir con diez palabras [en versión española]. Pero ¿acaso todas las descripciones hacen referencia a algún objeto? No necesariamente. ‘Es el extremo de una circunferencia’ es una descripción y, sin embargo, no hace referencia a nada. Y el conjunto de todos los extremos de una circunferencia ni siquiera es el conjunto vacío: es un conjunto que verifica una propiedad absurda. Sería posible, incluso, enunciar teoremas sobre el extremo de una circunferencia, pero esos teoremas sólo se cumplirán si encuentro una circunferencia que tenga un extremo.

Las propiedades son una cosa, y los conjuntos, otra. La propiedad “es expresable con cinco palabras” es expresable con cinco palabras, pero ello no implica ninguna contradicción… a menos que nos empeñemos en representar las propiedades como símbolos disjuntos, sin relaciones entre sí. Si queremos representar el hecho de que una propiedad cumple la propiedad que ella misma enuncia, tenemos forzosamente que representar ese hecho mediante un bucle. Y si, pese a mis advertencias, alguien se empeña en asociar a cada propiedad un conjunto, tendrá que diferenciar entre dos tipos de conjuntos topológicamente diferentes: con bucles, y sin bucles.

De manera semejante a como hizo el propio Russell con su teoría de clases, cuando vio las dificultades que implicaba su paradoja. Pero, a mi modo de ver, la perspectiva topológica le aporta un fundamento mucho más ‘natural’.

*  *  *

Mi pequeño triunfo

(Comienzo)

Por fin he rescatado el Abstract que envié al simposio de Budapest, y he podido cotejar los comentarios del último referee con mis propios argumentos. He aquí el resultado:

The referee [se refiere al primer referee, designado de oficio; el que escribe fue el experto consultado para disipar las dudas del primero] failed to understand both the basic claims and the argumentation of this abstract.

De manera que, como yo sospechaba, el retraso en anunciarme el veredicto final se debía a que uno de los referees había pedido consultar con una autoridad en la materia. El otro referee designado de oficio no había tenido dificultades para sacar conclusiones. ¿Por qué éste sí? Para un encuentro que se llama "Tenth Symposium on Logic and Language", es de suponer que los dos referees estaban suficientemente versados en la materia como para decidir por sí solos, sin ayuda de terceros. Pero mis argumentos tenían implicaciones demasiado serias, y al menos a uno de ellos le han parecido, hasta cierto punto, creíbles. Ese 'hasta cierto punto' ha sido mi triunfo esta vez.

Due to the lack of references, it is not clear in which semantic theory's, school's or paradigm's language the author formulated her/his ideas.

Esto no es un argumento serio en alguien que se llame científico. Newton inventó el cálculo diferencial porque nadie lo había inventado antes. ¿Habría que haber rechazado los Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica porque no estaba claro a qué 'escuela' pertenecían aquellas fórmulas tan raras?

It could be much easier to get the point of the abstract if there were a sufficient number of natural language examples illustrating the problem discussed.

Cierto. Pero la extensión máxima del Abstract no podía superar las dos páginas, y a mí ya me había costado bastante trabajo estrujar un background sobre información, categorías y lógica de predicados, más un análisis de la paradoja de Russell, en sólo dos páginas (1012 palabras). ¿Debería condensar aún más mis argumentos utilizando signos jeroglíficos egipcios, señores referees?

Presumably there is some ambiguous natural language expression that is disambiguated by the "office-place" array in the second paragraph, but it would be easier to read it than to find one out. (Maybe it is just the definite expression "the office", but it is not a name.)

Mi comentarista sabrá mucho de lógica, pero no parece comprender muy bien lo que es un proceso de información. "¿Dónde dejo este ladrillito?", pregunta la hormiguita. "En la oficina", le responden. "¿En qué oficina?" "En la oficina de París". Si hacía falta añadir "de París", ¿querrá eso decir que "la oficina" era ambiguo? Yo diría que sí, pero no sé si algún lingüista tonto pensará lo contrario.

Also, the name "John" in the concluding circular structure seems to be a fragment of a natural language example that suggests circularity. Unfortunately, the example is missing.

En ningún lugar de mi texto se habla de 'circularidad'. En cualquier caso, la expresión S(C(John)·C'(i)·C''(i)···) no es una estructura circular, sino un ejemplo de predicación, como se anuncia en la línea precedente del texto. Que es una predicación acerca de "John" se deduce fácilmente si reparamos en que "John satisfies P" es una predicación. El primer término de la implicación representa, por consiguiente, una predicación expresada como etapa final de un proceso de información, mientras que el segundo término es una reescritura del primer término en la forma clásica utilizada en lógica de predicados.

What the opening paragraph calls an "intensional description of a set" seems to be an ordinary set-definition in naïve set theory that can also be used in the standard Zermelo-Fraenkel framework with the restriction that the members of the set defined are all from a given set ({x as a member of H : j(x)} instead of {x : j(x)}). There seems to be nothing intensional in this.

La limitadísima extensión del Abstract no me dejaba espacio para definir el concepto de intensión, que me pareció suficientemente standard, como confirma, por ejemplo, la definición de 'definición intensional' de Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Intensional_definition

Por lo demás, tanto la expresión {x as a member of H : j(x)} como {x : j(x)} son ambas, a mi entender, intensionales, en la medida en que no definen un conjunto enumerando sus elementos.

Presumably, [in S(C(i) · C'(i) · C''(i) · · ·)] the last three c-dots are not relation symbols but simply three dots showing that the expression is incomplete.

¡Enhorabuena, Sr. Referee! Lo ha presumido usted estupendamente.

C(i) itself is a relation of a category C and an instance i, thus making c-dot denote a second order relation. Due to the incompleteness, its arity seems to be arbitrary. Thus, whatever S is, [it] should be a unary third order symbol that converts a sentence into an individual term. The role of the cdot relation in this structure is far from clear, but at least its syntax seems to be decipherable.

La letra S denota una estructura topológica que, aunque no he definido, he ejemplificado ya en el tercer párrafo de mi texto. Mi fallo aquí ha sido utilizar el paréntesis para describir una estructura después de haber expresado la relación categoría-ejemplar mediante C(i). El referee no ha entendido que, en mi artículo, la relación categoría-ejemplar es una relación de desambiguación vinculada al concepto de información, y la ha interpretado en términos de gramática generativa. Por eso ha entendido también que S denota una sentencia. Lo cual se confirma en el párrafo siguiente:

A few paragraphs later, c-dot reappears in expressions like F(x) · H(x). This expression denotes an "abstract concept" (p2); thus, here the c-dot apparently changed its type and fails to be a relation; rather, it is a binary operator that converts two individual terms into one.

No. El símbolo c-dot sigue siendo una relación, y no un operador. Una relación topológica, es decir, perfectamente objetivizable (a menos que se considere que las relaciones topológicas no son relaciones objetivas). Objetivizable quiere decir que a un paralelogramo, por ejemplo, podemos asociarle cuatro conceptos llamados 'vértice', un concepto llamado 'contorno', un concepto llamado 'superficie interior' y un concepto llamado 'superficie exterior' sin que ningún interlocutor tenga dudas acerca de a qué nos estamos refiriendo.

The last occurrences of c-dot are a bit surprising. According to their explanation, both Set · Member(S, x) and Set(x) · Member(Set(x) · Member(Set(x) · · ·)) denote a set. The referee is not familiar with this set-theoretic notation. Although it cannot be ruled out that it is consistent with the use of c-dot introduced before, it is far from clear how it is so.

No es una notación de teoría de conjuntos, ya que la relación c-dot es topológica. Aunque no la he definido específicamente en mi texto, el ejemplo del segundo párrafo debería dar a entender claramente de qué tipo de relaciones estamos hablando. Y la expresión Set(x) · Member(Set(x) · Member(Set(x) · · ·)) no denota un conjunto, sino "the expression 'a set S that is a member of itself'", como he indicado en la línea que precede a la expresión.

The uses of some other symbols are problematic, too; e.g., it is by no means clear which algebra provides us with the operation + frequently used in the semantic analyses of the abstract.

Obligado a comprimir mis explicaciones en un abstract de dos páginas, tuve que prescindir de aclarar que la expresión que contiene el símbolo + es una descomposición de la tabla que aparece tres líneas más arriba. Al referirme a ella como 'a construct' creí haber dado una pista clara del tipo de operación al que me refería: sencillamente, la operación de 'construir' una tabla a partir de sus elementos.

The opening sentence suggests that in contemporary semantics standard predicate logic is regarded as an adequate tool for representing natural language meaning. This is not true.

Ni es lo que yo he dicho. Reproduzco mi introducción: "A close look at the semantics of indefiniteness in terms of information raises reasonable doubts about the extent to which predicate logic accurately captures natural language semantics". La lógica la expresamos mediante símbolos, pero la inteligimos mediante conceptos extraídos del lenguaje natural (como se desprende, por ejemplo, del famoso ejemplo "the morning star", de Frege) y compatibles, sin discontinuidad, con el lenguaje natural. A eso es a lo que me refería cuando he dicho 'captures'.

The abstract claims that a universally quantified sentence differs from an existentially quantified one in terms of scope.

Que difiere es evidente, aunque no en términos de alcance, sino de significado. Como todos sabemos, no es lo mismo un pájaro cualquiera que un pájaro específico. Y yo no he dicho en ningún momento que la diferencia sea en términos de alcance.

The abstract claims that in natural language semantics expressions are translated into set theory…

Esto tampoco lo he dicho. Para no repetir mis argumentos, remito al lector una vez más al párrafo anterior.

… It is true that 'x is a member of x' contradicts (in the presence of some further axioms) the axiom of regularity, a standard axiom of Zermelo-Fraenkel set theory. But set theory is not the same as a unique set of axioms. In some formulations, regularity is omitted, or even replaced with some other axioms. A well-known example is Peter Aczel's non-wellfounded set theory, which is used to model several circular natural language phenomena by several authors.

Lo que yo sugiero es que, previamente a cualquier formalización en términos de axiomas, el significado semántico de conceptos tales como 'conjunto' o 'pertenece a' no está suficientemente formalizado, y propongo un fundamento objetivo para formalizarlos. Si ha de haber o no axiomas, eso habrá que decidirlo posteriormente. De hecho, si aceptamos la topología como fundamento objetivo, el concepto de un elemento que pertenece o no a sí mismo no es que sea incompatible con algún otro concepto, sino que es inconstruible, al menos en las estructuras topológicas S1, S2, S3. La idea es precisamente sustituir los axiomas por una serie de elementos objetivos cuyas relaciones vienen determinadas por su propia naturaleza.

The conclusion of the abstract suggests that the axioms of a logical system vary along with any variation in the axioms of the set theory underlying its semantics. Although there is indeed such a connection due to the requirements of soundness and completeness, the relation between logic as an axiom system and logic as a semantic system based on axiomatic set theory is very complex. A modification in the set-theoretic background does not necessarily correspond to a modification in the predicate calculus.

Precisamente esas son las complejidades que, por su falta de simplicidad y por su aparente artificiosidad (las contradicciones de la teoría de conjuntos en su forma inicialmente expresada han hecho que los axiomas establecidos sean, de hecho, elementos ad hoc de la teoría), sugieren que su formalización semántica no refleja acertadamente la 'realidad', en el sentido geométrico/topológico.

Y, por último, la guinda:

The concluding sentence of the abstract claims that `the essential features of all possible topological structures […] are provided by nature.' Although such an empirical basis for logic and semantics is very apeealing, this conception needs—to say the least—further clarification and the refutation of a lot of remarkable philosophical arguments from Kant to Quine.

… Todo lo cual no sería razón para rechazar un artículo, sino más bien lo contrario. Al menos, desde mi punto de vista.

(Continuación)

Lingüística para tontos. IV - La topología

(Comienzo)

Si me hablan de la Mona Lisa y vivo en París, probablemente seré capaz de situarla en un mapa mental con gran exactitud. Pero ¿qué hacer si me hablan de Nessie (el monstruo del lago Ness) y toda mi vida he vivido en una tribu del Amazonas, sin contacto con el mundo exterior?

En tal caso, es de suponer que mi representación mental de Nessie no me servirá ni para llegar a Escocia pero, aún así, seré capaz de representarme la Tierra como una esfera (¡tal vez incluso como un plano!), en ella una isla, en la isla un lago, y en el lago un animal cuyo aspecto desconozco. Mientras yo no dé forma concreta a esas isla, lago y animal, su representación navega libremente en mi mente por mares topológicos.

Esto nos sugiere que, para interpretar el lenguaje humano, nuestra mente asienta la información en estructuras topológicas. A falta de más datos, nos conformamos con saber que una isla es una superficie dentro de otra y que Nessie es un objeto tridimensional metido dentro de un volumen. O, simplificando aún más, un punto situado en algún lugar de una superficie. En otras palabras, la representación de un concepto no nos plantea problemas mientras sus fronteras estén claras y el concepto no se 'rompa'. Respetando estas reglas, nuestro concepto es moldeable.

La representación del habitante del Amazonas es una buena forma de comprimir la información. Supongamos que hemos representado digitalmente la imagen de una isla -rodeada de agua- así:

0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 0 0

Es decir, una región de 1s (tierra) rodeada de una extensión de 0s (agua). Pues bien, en términos topológicos nos bastaría con escribir simplemente

0
0 1 0
0

En otras palabras: decir que una representación es 'topológica' quiere decir que nos sirve para generar casos particulares, como el de la primera imagen digital. En la segunda representación, la simplificada, cada uno de los símbolos 0 o 1 denota un caso general, capaz de generar casos particulares desdoblándose en sentido horizontal (11, 111, …) o vertical. Acabamos de representar topológicamente una categoría.

Hay una característica importante de las categorías que marca quizá su diferencia radical frente a la teoría de conjuntos. Mientras los matemáticos contemplan un conjunto como la 'unión' de todos sus miembros, una categoría está relacionada con sus miembros mediante la disyunción "o": la palabra 'gato' puede referirse al gato de mi vecina, o al Gato Fritz, o al gato que me encontré ayer en la calle, o… En lenguaje ordinario, no matemático, la agregación de cierto número de gatos la expresamos más bien mediante el plural.

Por comodidad, estoy utilizando aquí la notación {A, B, C, …} para designar una categoría, quedando entendido que lo que significa para mí es 'A o B o C o …', y no 'A y B y C y …'

Ahora bien, la representación topológica –es decir, simplificada- nos sirve igual para una isla que para un lago o una mancha de salsa de spaghetti en nuestra camisa. Es una categoría de categorías. Si, como cabe sospechar, no fuera posible simplificarla más, entonces nos hallaríamos ante lo que los lingüistas llaman una 'primitiva': en otras palabras, un concepto irreducible.

De ser cierta, esta idea resolvería muchos problemas. Si el significado último de los conceptos fuera, en última instancia, topológico, el lenguaje humano podría tener un referente absoluto: la geometría. Además, como hemos visto, podríamos manejar esos conceptos geométricos utilizando símbolos. ¿Qué es lo que estoy insinuando? Muy sencillo: que el lenguaje humano, y en particular su significado, sería procesable mediante computadoras.

La ambigüedad entre un lago y una isla podemos resolverla, por ejemplo, asociando a los 0s y a los 1s los símbolos 'agua' y 'tierra', o 'tierra' y 'agua', según el caso. Pero, si nos encontramos ante un atasco de tráfico en Roma a una hora punta, ¿tendremos que poner un nombre distinto a cada uno de los automóviles para referirnos a ellos?

Esta es precisamente la pregunta a la que me gustaría responder en el próximo episodio.

(Continuación)