Abstracciones

El mundo de los conceptos es complejo e intrincado, pero tiene una característica inalterable: es cualitativo, no cuantitativo. Podemos trocear mentalmente un arco iris tanto como queramos y asignar una palabra a cada uno de esos trozos pero, hasta donde nuestra vista nos lo permita, siempre encontraremos matices que nos dejarán insatisfechos. 

A lo largo de la historia, esa posibilidad de dividir un concepto indefinidamente ha inspirado dos modelos de la realidad basados en supuestos diferentes: (1) las divisiones se terminan; (2) las divisiones nunca se terminan. La primera concuerda bien con la humilde constatación de que nuestros sentidos (y nuestra memoria) tienen un límite, y de que no disponemos de un tiempo infinito para averiguar si la continuidad es ese zoom que nunca se termina.

Para resolver los problemas de la vida cotidiana, nuestros antepasados adoptaron un modelo práctico que no tomaba partido entre esas dos posibilidades. Pesar trigo, distribuir sopa o medir telas eran operaciones en las que todas las partes podían ponerse de acuerdo sin complicarse la vida más de lo necesario. Pero algunos inconformistas se preguntaron si aquellos dos modelos les permitirían --además de comerciar, distribuir o construir-- explicar.

¿El universo estaba hecho de aire, agua, fuego y tierra, o de átomos indivisibles? ¿Una flecha en movimiento recorría un número infinito de puntos durante un número infinito de instantes? ¿El tiempo y el espacio fluían eternamente? ¿Una circunferencia era un polígono con un número de lados infinito? Estas, y muchas otras preguntas parecidas, tenían respuestas diferentes según el modelo mental que uno adoptara, y en algunos casos extremos ni siquiera fue posible declarar un vencedor. Por ejemplo, después de larguísimas y amargas controversias, hemos tenido que aceptar que la luz, aparentemente, está hecha de ondas continuas y, al mismo tiempo, de partículas indivisibles.

Está claro, pues, que el objeto de la ciencia no es describir la realidad, sino construir modelos abstractos que la expliquen lo más fielmente posible. Aquellos primeros pensadores de la era antigua no especularon en vano. Confrontadas con la realidad, sus ideas fueron siendo aceptadas o descartadas y, con el tiempo, alumbraron el método científico, gracias al cual hoy nos alimentamos, nos protegemos y nos transportamos infinitamente mejor que los primitivos cazadores de mamúts. 

Pero, a medida que nos esforzamos por explicar la realidad, también vamos descubriendo que es inagotable. Los físicos de nuestros días manejan conceptos tan inabarcables como el universo y tan impalpables como los quarks. Tocar un cable eléctrico nos puede dar calambre, pero el concepto de campo eléctrico es completamente abstracto. Y la abstracción, como en tiempos de Demócrito, nos aboca, todavía hoy, a problemas a los que sólo podemos responder con conjeturas.

Pero no cualquier conjetura. Las conjeturas que han resuelto los problemas más profundos han sido el resultado de un cambio de modelo mental. El sol no gira alrededor de la Tierra, el éter no existe, la generación espontánea es imposible, las especies biológicas evolucionan, los continentes se mueven. Cada una de esas conclusiones ha costado a sus descubridores años, a veces siglos, de rechazo, olvido e incomprensión. 

Uno de los problemas, casi metafísicos, a los que se enfrentan los físicos de hoy está relacionado con la naturaleza del tiempo. En lo esencial, no estamos tan lejos de Demócrito. ¿O quizá deberíamos decir, mejor, Zenón de Elea? Los lectores de este blog, si es que todavía queda alguno, ya conocen mi admiración y mi obsesión por las geniales paradojas de Zenón. Una y otra vez, vuelvo a ellas y me vuelvo a hacer preguntas. Esencialmente, una: ¿podemos formalizar el modelo en el que se basa, implícitamente, nuestra noción del espacio y del tiempo?

No estoy seguro. Con todo, muchos siglos después de Zenón, todavía creo ver grietas en los fundamentos de ese modelo que, o bien nadie ha llegado a cuestionarse, o bien han tapado con parches de artificiosa gutapercha teórica. Por ejemplo, incapaces de definir el concepto matemático de conjunto, los especialistas lo han susitituido por una compleja lista de axiomas que, para cualquier ser humano sensato, son cualquier cosa menos evidentes. Deus ex machina, dirían los aficionados al teatro.

Ya he escrito otras veces, y no poco, sobre las paradojas de Zenón. El concepto de continuidad significa que cada punto de una línea, teniendo dimensión cero, está conectado con otros dos, uno a izquierda y otro a derecha. Con una peculiaridad: si asociamos a ese punto un número real, no hay ningún otro punto que esté inmediatamente contiguo a él. Cómo es posible el movimiento según ese modelo, es un misterio que los matemáticos hasta ahora, que yo sepa, no han explicado.

El concepto de punto de dimensión cero plantea otros problemas. Si identificamos mentalmente uno de tales puntos, por ejemplo el punto medio de un segmento, tenemos que deducir que una mitad de ese segmento está a su derecha, y la otra mitad a su izquierda. Llamemos M a ese punto. Naturalmente, estamos suponiendo que M es parte integrante de nuestro segmento. ¿Qué sucederá cuando cortamos el segmento en dos? El punto M no se puede desdoblar, porque entonces no sería un punto, sino dos, y, siguiendo ese razonamiento, todos los puntos del segmento podrían desdoblarse hasta el infinito. Por lo tanto, tenemos que suponer que M se queda en una de las dos mitades. Pero entonces, ¿cómo identificaremos el extremo de la otra mitad? ¿Como el punto inmediatamente contiguo a M? Problema: en nuestro modelo tal cosa no existe. Aun así, curiosamente, sí le podemos asignar un nombre. 

La operación de división, por ejemplo en dos mitades, es la operación inversa de la multiplicación, que no es otra cosa que una suma repetida. Si hablamos de longitudes, sumar es poner una cosa a continuación de otra. Como esas dos cosas tienen extremos claramente identificables, el punto de unión --llamémoslo U-- conectará uno de esos extremos a continuación del otro. Pero en el mundo de los números reales eso no es posible. De modo que tenemos que suponer que U o no formará parte del nuevo segmento o será el resultado de fundir en uno solo los dos extremos acoplados. En el primero de estos dos casos, podremos referirnos a U indistintamente como "el antiguo extremo del lado izquierdo" o "el antiguo extremo del lado derecho", pero en el segundo caso U será indistinguible y no tendremos ninguna posibilidad de ponerle nombre. Peor todavía: si U son dos puntos fundidos en uno, tendrá que poderse desdoblar.

Pero vamos al tema de hoy. Si contemplamos la suma como una operación cualitativa, los segmentos que sumemos podrán tener cualquier longitud. Lo único que importará es que podamos contar uno a uno los puntos de unión para obtener el resultado de nuestra suma (o multiplicación). Por ejemplo, si acoplamos dos palos de escoba uno a continuación del otro, el resultado será el número 2, sea cual sea la longitud de cada palo. En este caso, sin embargo, la operación inversa sólo será posible si invertimos el sentido del tiempo, para poder identificar los trozos que previamente habíamos unido. Si no tenemos esa información sobre el pasado, cualquier combinación será posible, y la entropía habrá aumentado.

En cambio, cuando contemplamos la suma como una operación cuantitativa, sólo nos interesará que esas dos mitades sean iguales con independencia de su pasado y, por lo tanto, estaremos dando por supuesto que el tiempo es reversible sin coste alguno. Esto quiere decir que estaremos describiendo una realidad de entropía cero, y nuestro modelo, por consiguiente, no describirá adecuadamente el mundo real. 

Todo esto quizá no tendría importancia si la física teórica hubiera encontrado un modelo teórico que conectara adecuadamente la realidad microscópica con la macroscópica, pero tal cosa todavía no ha sucedido. Tampoco tendría importancia si la semántica fuera una ciencia formal, capaz de explicar en profundidad el fenómeno del lenguaje humano y de predecir, de manera verificable, sucesos lingüísticos posibles. Ninguna de esas dos cosas ha sucedido (quizá la segunda sí) y, en cualquier caso, yo no puedo dejar de hacerme preguntas. 

Tampoco importa mucho. Este blog flota a la deriva, desde hace muchos años, dentro de una botella insignificante en la inmensidad de un océano sin faros ni puertos. O quizá, si uno piensa en sus antepasados, rueda, arrastrado por el viento, por la inmensidad de un desierto en el que los oasis son raros y siempre muy lejanos. A estas alturas ya, imposibles de encontrar.

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