La paradoja de Russell

La teoría de conjuntos aspira a sentar unas bases inamovibles para las matemáticas pero, paradójicamente, lo hace basándose en varios conceptos que no define. Los más llamativos son el concepto de conjunto y los cuantificadores 'para todo' y 'existe un'. En concreto, la definición intensiva de conjunto depende crucialmente del cuantificador 'para todo', pero nadie lo define en términos objetivos. Implícitamente, se supone que los cuantificadores lógicos son ‘primitivas’, es decir, conceptos elementales e irreducibles en los que todos estamos de acuerdo. Me parece mucho suponer, sobre todo si lo que se quiere es sentar las bases de las matemáticas.

La existencia de primitivas, como tal, parece irrefutable. Los diccionarios en realidad son circulares. Describen taxonómicamente conceptos, pero no permiten identificar nada que el lector no conozca de antemano. Una motocicleta, ciertamente, es un vehículo. Un vehículo es un objeto físico que sirve para desplazarse. Desplazarse es cambiar de lugar a lo largo del tiempo. Si el lector no tiene una idea previa de lo que es un objeto, un lugar y el tiempo, nunca podrá construir el concepto de ‘motocicleta’, y perderá el tiempo buscando esas tres palabras en el diccionario, porque cada una de ellas terminará remitiéndose a sí misma.

Me parece pues evidente que las primitivas tienen que ser conceptos que no podemos describir con palabras, sino mediante otro sistema de referencia que esté en la esencia misma de nuestras percepciones sensoriales. Por ejemplo, la imposibilidad de transformar una taza con asa en una bola de billar es incontrovertible, al menos en la geometría euclídea, y genera dos categorías de objetos físicos inequívocamente diferenciados: los que son transformables en una taza con asa y los que son transformables en una bola de billar. Entendidos en ese sentido, yo no tendría inconveniente en usar los conceptos taza-con-asa y bola-de-billar como primitivas, al menos mientras nadie consiga transformar una en la otra.

Tratemos de profundizar en el significado de los cuantificadores. La expresión "para todo x" implica la posibilidad de escoger sin restricciones, mientras que "existe un x" designa el resultado de una selección. Solemos expresar el cuantificador universal 'para todo' mediante las expresiones "para todo x" o "sea cual sea x" pero, al hacerlo, estamos aceptando implícitamente que las definiciones extensiva e intensiva de un conjunto coinciden, lo cual es debatible.

Si decimos "ayer vi un gato", estamos refiriéndonos a algo inequívocamente localizable en el espacio y en el tiempo. O en aquel lugar y en aquel momento precisos había un gato, o no lo había. Dado que siempre podemos referirnos a cualquier punto del espacio o del tiempo, aunque sea simplemente señalándolo en un gráfico, podemos también construir un algoritmo que los genere. Cada algoritmo de esas características equivaldría a la definición extensiva de un conjunto, y podríamos definir la relación conjuntiva AND como la relación entre dos pasos cualesquiera de un tal algoritmo.

Pero supongamos ahora que alguien dice "un gato no ladra". En tales casos, no parece posible encontrar un algoritmo que nos permita referirnos a ese gato. Todo lo que podemos decir es que si nos encontramos con uno, observaremos que no ladra. En otras palabras, si escogemos un gato presente, pasado o imaginario, verificaremos que no ladra. Podemos definir el concepto de selección a semejanza de una plantilla que, aplicada a una multiplicidad de cosas, oculte todo lo que no seleccionamos y deje visible lo que seleccionamos. A esa plantilla podríamos llamarla XOR.

Ahora consideremos una multiplicidad de referentes enumerable (por ejemplo, varios números, o varias macetas). ¿Podemos describirla mediante AND o mediante XOR? Es evidente que podemos construir un algoritmo que dé como resultado los distintos referentes (números, macetas) de la multiplicidad, pero también podemos construir una plantilla que, cada vez que la apliquemos, nos permita seleccionar cualquiera de esos referentes. Sin embargo, ¿obtendremos el mismo resultado?

No si el algoritmo traza bucles. Un algoritmo equivale a un criterio que proporciona resultados y, por lo tanto, podría suceder que dos referentes distintos según un algoritmo sean el mismo referente si usamos una plantilla:

En esta figura, el algoritmo identifica un conjunto en el que N y N + k son diferentes, mientras que una plantilla considerará estos dos referentes como el mismo, es decir, nos obligará a usar un único símbolo. Si interpretamos el algoritmo como una definición extensiva y la plantilla como una definición intensiva, tendremos:

N ≠ N + k        extensivo

N = N + k        intensivo

Si entendemos las definiciones intensivas como un criterio de selección (las propiedades específicas de una rana me permiten seleccionar una), entonces el conjunto A de todos los números naturales que son múltiplos de 4 sería el resultado de una selección y, por consiguiente, deberíamos definirlo diciendo "si seleccionamos un número natural y verificamos que es múltiplo de 4, podemos utilizar el símbolo A para referirnos a él". El grado de ambigüedad del símbolo A coincidiría con el alcance de nuestro concepto mental del conjunto A, y esta definición sería la única posible, ya que no podemos verificar en su totalidad la infinidad de resultados R del algoritmo

x = 0

Loop:

x= N+1

R = x * 4
Goto Loop

Del mismo modo, cuando decimos:

todos los delincuentes serán arrestados

podemos estar refiriéndonos o bien a todos los que demostrablemente han delinquido, o bien a todos los que hayan cometido o lleguen a cometer alguna vez un delito. En el primer caso estaríamos utilizando la definición extensiva de delincuente, mientras que en el segundo caso estaríamos utilizando la definición intensiva. En matemáticas se trabaja casi siempre con definiciones intensivas, pero no se tiene en cuenta que su alcance coincide CASI siempre –no siempre- con el alcance de las definiciones extensivas. La paradoja de Russell es, en mi opinión, una de esas excepciones.

Acudamos, para verlo más claro, al famoso ejemplo del barbero, e imaginemos un escenario en el que, si seleccionamos a un varón adulto que no se afeita a sí mismo, ese varón es afeitado por el barbero. ¿Qué sucede con el barbero? Depende. Si el barbero se afeita a sí mismo, entonces no lo seleccionaremos. Si no se afeita a sí mismo y lo seleccionamos, entonces él no puede ser el barbero y nuestro escenario está mal construido. Es decir, pertenece a la categoría de los conceptos inconstruibles, del mismo modo que ‘el conjunto de todas las toses en el plano’, o ‘el comienzo de una circunferencia’.

Si la definición de barbero fuera extensiva, el barbero afeitaría a una multiplicidad de varones con nombre propio, es decir, perfectamente localizables, de los que sabríamos previamente con certeza que no se afeitan a sí mismos. Como estaríamos enumerando casos específicos, no habría generalización posible, y el barbero podría hacer lo que le viniera en gana, porque no estaría incluido en el alcance de su propia definición. Podemos definir al barbero como aquel que afeita a todos aquellos (Pedro, Juan, etc.) que no se afeitan a sí mismos y, además, a sí mismo, pero si lo definimos como aquel que se afeita a sí mismo y que no se afeita a sí mismo nuestra definición carecerá de validez.

Si el barbero forma parte de una multiplicidad no abstracta, sino denominable (Pedro, Juan, el barbero, etc.), entonces podremos comprobar si se afeita o no antes de construir cualquier definición. En otras palabras, la pregunta ‘¿se afeita el barbero a sí mismo?’ tiene que tener una respuesta concreta, que llamaremos B. Si nuestra definición de barbero implica la negación de B, que es un dato preexistente, entonces la definición no será aceptable. Sería algo así como definir ‘rojo’ como el color de todas las rosas a sabiendas de que hay rosas amarillas.

Por otra parte, es también debatible el concepto de ‘conjunto que pertenece a sí mismo’. En el sentido extensivo, no parece viable construir un único algoritmo que además de recorrer uno por uno diversos referentes recorra también el referente que designa su totalidad (o cómo viajar desde Madrid hasta Sevilla y desde Sevilla hasta la lista de estaciones del AVE Madrid-Sevilla). En el sentido intensivo tampoco parece viable construir una plantilla capaz de seleccionar no sólo diversos referentes individuales sino, además, su totalidad (con la mira de un fusil podemos apuntar a un soldado, pero no a un batallón). Además, si seleccionar es lo mismo que desambiguar, una multiplicidad de posibilidades no puede desambiguarse en ella misma (algo así como decir que un árbol es una rama de sí mismo).

Después de años buscando, todos los ejemplos que he encontrado de conjunto que pertenece a sí mismo me parecen o incorrectos o imprecisos. La lista de todas las listas pretende ser una definición intensiva de un concepto exclusivamente extensivo, y las definiciones de tipo ‘negativo’ (por ejemplo, el conjunto de los ‘no triángulos’) pretenden definir un conjunto complementario sin especificar con respecto a qué. Me temo que los matemáticos se dejan a veces hipnotizar por los símbolos en la medida en que ven que funcionan, sin plantearse antes ponerse de acuerdo en su significado.

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