Zenón y Newton

Ya he escrito en muchas ocasiones sobre Zenón, uno de los poquísimos filósofos que admiro. También le he dado muchas vueltas a sus aporías, en particular la de la flecha y la de Aquiles.

Creo que Zenón se adelantó a Newton descubriendo las leyes de la inercia, aunque no llegó a enunciarlas. Sin embargo, están implícitas en sus razonamientos. Veamos. Cuando dice que una flecha está o quieta o en movimiento, hemos de entender, con Zenón, que 'quieto' significa que no se mueve nunca, mientras que 'en movimiento' significa que no se detiene nunca. En otras palabras, que sus estados son, respectivamente, esos dos. Precisamente los dos estados que forman parte de la definición de inercia: si un cuerpo está quieto, permanecerá quieto a menos que una fuerza actúe sobre él, y si está en movimiento (uniforme) se mantendrá en movimiento mientras ninguna fuerza actúe sobre él.

Pero Zenón no pensaba en términos de fuerzas, sino de estados. Para que un cuerpo llegue a ponerse en movimiento y recorrer una distancia D deberá recorrer primero la mitad de D. Pero antes de eso deberá recorrer la mitad de la mitad de D, y así sucesivamente hasta el infinito. El problema se resolvería si no hubiera un número infinito de mitades que recorrrer, pero en el modelo que hemos escogido para representar nuestras percepciones lo hay, lo cual quiere decir que no hay una primera mitad que el cuerpo pueda seleccionar y, por lo tanto, recorrer.

En otras palabras, los números racionales no son ordenables. Sea cual sea el número que escojamos, no hay una fracción numérica que podamos decir que está a continuación de él. Imaginemos una cola de un cine en la que hay infinitas personas detrás de nosotros pero ninguna de ellas está a continuación de nosotros. Si estamos esperando a un amigo y queremos ceder el puesto al siguiente en la cola, no nos será posible. Hay infinitas personas detrás de nosotros, pero no podemos pasarle el turno a ninguna de ellas.

Es una situación bien extraña, porque si seleccionáramos dos personas cualesquiera en la cola, siempre podríamos decir cuál de las dos está delante de la otra. Pero entre ellas dos siempre habrá un número infinito de personas, y ninguna de ellas será la anterior o la siguiente a nadie.

Nunca sabremos lo que pasaba por la mente de Zenón cuando enunció sus aporías. Quiero decir que nunca sabremos si para él eran simplemente un ejercicio de malabarismo mental o algo más profundo -que es lo que creo yo-, pero me parece evidente que sus razonamientos ponen en cuestión una representación de la realidad que es deficiente.

El problema, en mi opinión, es la operación de división. Mientras la división sea la operación inversa de la multiplicación no tendremos problema, porque nos bastará con retroceder en el tiempo. Si queremos saber cuál es la mitad de 6, construimos una tabla de multiplicar suficientemente grande y después buscamos en ella el número que multiplicado por 2 nos había dado 6. Pero ¿cuál será entonces la mitad de 3?

Para responder a esta pregunta el método de la tabla de multiplicar no nos sirve. Multiplicar es en realidad una forma de sumar más aprisa. Es decir, de recorrer un camino añadiendo una nueva serie de nombres a los mojones por los que pasamos. Así, en lugar de llamar 1 al primer mojón, 2 al segundo, 3 al tercero y así sucesivamente, nos vamos directamente al segundo y le añadimos el nombre 1. Al primero lo llamaremos, por tanto, 'entre 0 y 1'. Nos vamos después al cuarto, lo llamamos 2, y al pasar por el tercero lo llamamos 'entre 1 y 2'. Por último, nos vamos al sexto, lo llamamos 3 y, de camino, llamamos al quinto 'entre 2 y 3'. Ahora leemos el nombre del mojón al que hemos llegado y observamos que se llama 6. Definimos, por tanto, A x B como:

A x B = nombre del mojón al que llegaremos saltándonos B veces (A - 1) mojones.

Además, observamos que el resultado será el mismo si intercambiamos A con B:

A x B = nombre del mojón al que llegaremos saltándonos A veces (B - 1) mojones.

Por ejemplo, si nos saltamos 3 veces 5 - 1 mojones, el nombre el mojón terminal será 15. Haced la prueba.

Pero si queremos llegar, por ejemplo, al 1 saltándonos un mojón, no encontraremos ninguno que saltarnos. Para conseguirlo, tendríamos que colocar una nueva serie de mojones que tuviera uno nuevo entre cada dos existentes. Ahora bien, ¿cómo encontraremos el lugar que deberá ocupar, por ejemplo, nuestro primer mojón, que queremos colocar entre el punto de partida (es decir, el 0) y el 1? Para instalar los mojones iniciales hemos usado una unidad de longitud, con la que hemos ido marcando tramos sobre el camino, uno a continuación de otro. En cada extremo de uno de esos tramos hemos colocado un mojón.

Ahora, pues, tendremos que encontrar una unidad de longitud que nos permita colocar un mojón entre el punto de partida y el 1 y, a continuación, asegurarnos de que nuestro segundo mojón coincide exactamente con el 1. Podemos ir probando con unidades de distinta longitud, pero si queremos conseguir una coincidencia absolutamente exacta lo mejor será que doblemos la unidad original en dos mitades iguales.

¿Qué le sucede a nuestra unidad cuando la doblamos en dos mitades? Sucede que sus extremos coincidirán exactamente uno con otro en el nuevo extremo, mientras que el punto de doblez se convertirá en el otro nuevo extremo. Tenemos ahora un segmento con dos extremos. Uno de ellos tendrá dos nombres -los de los dos extremos iniciales-, mientras que el otro, el punto de doblez, sólo tendrá un nombre.

Pero ¿qué clase de punto es el punto de doblez? Supongamos que después de haber doblado el segmento original lo rompemos por el punto de doblez. ¿Qué obtenemos? Obtenemos dos mitades, cada una con sus dos extremos. Y, si queremos diferenciarlos, cada extremo tendrá que tener un nombre diferente del otro. Centrémonos en los extremos que antes eran el punto de doblez. Lo que antes era un solo punto, ahora son dos. ¿Tenemos que interpretar que había un punto que se ha desdoblado? Como somos capaces de doblar un segmento por el punto que queramos, eso querrá decir que cada punto de un segmento puede desdoblarse. Pero por definición un punto no tiene partes. Tenemos un problema.

Una solución consistiría en conceptuar una línea no como un conjunto de puntos, sino como una superposición ilimitada de segmentos potenciales. De ese modo, cuando rompemos una línea lo que estamos haciendo es convertir dos mitades potenciales en dos mitades reales, y por lo tanto dos extremos potenciales en dos extremos reales. Del mismo modo, cuando atravesamos una línea con otra, convertimos cuatro segmentos potenciales en segmentos reales, y creamos un punto de intersección, que será el extremo común de esos cuatro segmentos.

Esa misma idea nos sirve para conceptuar una superficie como una superposición ilimitada de 'recortes', es decir, de áreas bidimensionales con borde, o un volumen como una superposición ilimitada de cuerpos con superficie.

En otras palabras, el concepto de punto como un objeto de dimensión cero quedaría sustituido por el concepto de extremo de un objeto de dimensión 1, y así sucesivamente.

Las implicaciones de este punto de vista, en una próxima entrega.


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